Q. 수학에 발목잡힌 고1이예요. 중2때까지는 사교육없이 잘해왔고 부모가 보기에도 아이는 최선을 다하고 있어요. 그런데 수학 성적이 발목을 잡네요. 수학 기본 개념은 이해하고 있으나 막상 응용문제를 풀기가 어렵고, 문제 하나 푸는데도 시간이 많이 걸리는 편이예요. 어떻게 해야할지 모르겠어요?

A.  

안녕하세요. 아이가 나름 열심히 함에도 수학 성적이 기대보다 못하니, 안타까우시죠?

최근 4-5년간 아이들을 지켜본 결과 아이들이 수학의 기본 개념을 충분히 이해하고 있다는 것에 동의하기 어렵습니다. 아이들은 그 학년에서 배운 내용을 독립적으로 공부하는 경향이 있고, 이전의 개념과 연결해서 인과 관계, 즉 논리적인 연결성을 깊이 있게 공부하지는 않는다는 것을 발견했습니다.

수학의 1차적인 개념 학습은 개념의 정의(뜻)를 정확히 이해하는 것입니다. 이것은 성실한 아이들이 잘 하고 있고, 자녀분도 성실하게 이해했으리라 믿을 수 있습니다.

수학의 2차적인 개념 학습은 개념의 정의로부터 파생되는 법칙, 성질, 정리, 공식 등을 유도하는 학습입니다. 교과서가 이 부분을 명확히 자세히 설명하고 있지만 수업에서 이 부분을 '증명'이라고 부르면서 뭔가 하기 싫은, 하기 어려운, 그래서 그냥 적당히 넘어가고 싶은 부분이지만 절대로 그냥 지나쳐서는 안 되는 2차적인 개념학습입니다. 증명을 스스로 할 줄은 모르더라도 교과서의 증명 과정을 보고 한 단계 한 단계 이해하는 과정이지요. 자녀분은 이 부분도 성실하게 했을 것으로 믿을 수 있습니다.

여기까지가 우리나라 학생들의 모범생의 수학 학습법입니다.

이 상태를 기본 개념을 이해하고 있다고 보는 것인데, 이 상태로는 응용문제를 풀기가 어렵습니다.

이유는 응용문제에는 해당 학년에서 바로 배운 개념만 포함된 것이 아니라 이전에 나온 관련된 개념이 모두 포함되어 있기 때문입니다. 그래서 오늘 배운 개념과 이전의 개념의 연관성, 관련성, 연결성을 충분히 형성하지 못한 아이들은 연결하는 것에 실패해서 문제를 해결하지 못하든가, 아니면 어떻게든 해결하더라도 시간이 많이 걸리는 현상을 보이고 있습니다.

그래서 수학은 3차적인 개념 학습까지 이루어져야 합니다. 3차적인 개념 학습은 오늘 배운 개념과 관련된 이전의 모든 개념을 끝까지, 시작점까지 연결하는 것입니다. 그리고 이것은 문제를 풀기 전에 먼저 일어나야 하는 학습입니다. 교과서의 본문에 나온 예제나 문제는 대부분 이전 개념을 포함하지 않기 때문에 3차적인 개념 학습을 하지 않은 상태에서도 가능하며 실제로 그렇게 하는 것이 학교의 수업입니다.

하지만 이 상태로는 교과서의 연습문제 중 종합문제라고 하는 부분은 걸리는 것이 많으며, 아이들은 종합문제를 풀면서 교과서가 사기친다고 불만을 제기합니다. 분명 그 단원에서 요구하는 것을 다 이해했는데, 왜 이전 단원의 내용을 종합하여 문제를 풀라고 하느냐는 것이지요. 아이들은 이전 단원에서 시험 볼 때 이해가 부족해서 감점을 당했는데, 다른 단원에 와서까지 또 그 단원 때문에 감점을 당하는 이중 피해라고 항의합니다만 수학이라는 학문의 특성이 그렇게 논리적으로 연결되고 복합적인 성격을 띤 학문이기 때문에 피해가는 것이 쉽지 않습니다.

예를 들면, 고1에서 요즘 배우는 이차부등식이라고 한다면, 학교에서 이 부분을 학습하여 1, 2차적인 개념 학습을 했다면 집에서는 본인 스스로 3차적인 개념 학습을 해야 하는데, 예를 들면 중3에 나온 이차함수의 그래프를 그리는 것, 그리고 고1 앞부분에 나온 이차방정식과 이차함수의 관계, 이차방정식의 근의 공식, 이차방정식의 인수분해 등과의 연결성을 충분히 확보를 해야 합니다. 그러다 보면 이차함수 이전의 일차함수나 직선의 그래프 등도 나오고, 더 이전의 초등학교 수학도 얼마든지 나올 수 있는데, 이런 것들을 연결하는 체험을 바로 그날 밤에 해야 한다는 것입니다. 그리고 난 후에 고등학교 수학 문제를 풀어야 풀리지 않는 문제가 적어지며, 응용문제도 푸는 능력을 갖추게 되는 것입니다.

3차적인 개념 학습이 충분히 일어나면 고1의 모든 문제를 풀 수 있느냐는 것은 보장할 수 있는 것은 아니지만, 현재의 답답한 문제를 해결하는 방법으로 제시하는 것이니 체험을 해보면 좋겠습니다. 자녀분에게 이런 3차 개념 학습에 대해 충분히 설명해주고 교과서 종합문제를 풀 때 관련된 여러 개념 등을 고려하여 풀게 해보세요. 이해 안가는 개념은 찾아서 정리해보는 습관을 가져보면 좋겠습니다. 처음에는 속도가 느리겠지만 한 문제 한문제를 이렇게 정리해가며 풀다보면 수학 개념간의 연결성이 그려지고 속도도 빨라질것입니다.

그래도 여전한 것은 개념적인 연결성이 떨어지는 문제들, 전혀 개념 간의 관련성을 찾아볼 수 없는 불필요한 개념이 결합된 문제들이 우리나라 문제집에 많아서 해결되지 않는 문제가 존재한다는 것입니다. 이런 문제는 나쁜 문제죠. 이런 문제를 풀지 못한다고 해서 실력이 없다고 판단하는 것도 문제가 있다고 봅니다. 언젠가는 이런 문제들이 사라지는 날이 올 것입니다.

초등학생의 경우에는 3차적인 개념학습을 위해 스스로 연결성을 염두에 두고 공부하는 것이 쉽지 않습니다. 중고등수학의 기초를 탄탄하게 다지는 단계가 바로 초등학생시기이기 때문에 초등의 경우는 1차적 개념학습이 중요도에서는 더 크다고 할 수 있습니다. 연산과 문제풀이 스킬을 익혀서 각 단원의 문제를 푸는 반복 학습의 습관이 들지 않으려면 1차적 개념학습을 위한 수학 공부법에 익숙해져야합니다. 이 단계에서의 습관이 이후 중고등 수학의 심도 있는 공부를 위해서는 매우 중요하다고 생각합니다.

아이가 학습한 수학 단원이 있으면 그 단원에서 등장하는 수학 용어들의 뜻을 물어보는 질문을 던져 개념을 정확히 이해하고 있는지 확인합니다. 수학 용어의 뜻을 잘 설명할 수 없다면 교과서를 찾아보고 배운 개념의 뜻을 이해하여 설명하게 합니다. 그런 과정을 통해 아이 스스로 배운 내용을 복습할 수 있고 말로 수학 용어의 뜻을 설명하면서 개념에 대한 이해력을 높일 수 있습니다. 1차적 개념학습을 탄탄히 다진 후에 2차적 개념 학습의 단계로 넘어가야 불필요한 암기식 풀이습관에 익숙해지지 않습니다.

개념의 정의로부터 파생되는 2차적 개념 학습은 아이가 문제를 푸는 과정을 직접 칠판이나 종이에 적으면서 발표하도록 하면 효과가 큽니다. 혼자 풀어서 정답을 맞히는 것보다 다른 사람에게 설명하는 과정을 거치면 그 정답이 도출되는 과정을 논리적으로 설명하면서 스스로 개념으로부터 유도되는 과정이 정확히 정리되고 이해됩니다.

연결성을 찾는 3차적 개념학습을 초등단계에서 스스로 깨닫고 찾아내는 것이 굉장히 어려운 작업입니다. 예를 들어 분수개념과 나눗셈개념의 연결성, 나눗셈과 곱셈의 연결성, 분수와 비의 연결성 등등 이전에 학습한 내용을 연결하는 것은 어른도 쉽지 않은 작업입니다. 예를 들어 분수1/2과 1÷2가 같다는 것을 연결시켜 이해하는 학생이 많지 않고, 원주율을 계산한때 (원주)÷(지름)인 이유에 대해서 비율의 개념을 이해하기보다는 공식처럼 암기하여 학습하는 경우가 많습니다.

아이가 연결성을 찾아 공부하도록 하려면 1~6학년까지의 교과서를 집에 비치하여 이전 학년에 배웠던 내용과 관련성이 있는 개념이 무엇인지 질문하고 아이가 스스로 교과서를 찾아 이전 학년의 개념을 찾고 다시 한 번 정리하는 것만으로도 연결성을 훈련하는 효과를 볼 수 있을 것 같습니다.